(۳-۷۶)
اکنون فرض کنید ماتریس بصورت حاصلضرب تجزیه شده است. ماتریس را بصورت زیر می سازیم:
(۳-۷۷)
ماتریس های و متشابهند زیرا:
(۳-۷۸)
بنابراین دنباله از ماتریس های متشابه با مقادیر ویژه یکسان می باشند. می توان نشان داد که دنباله به یک ماتریس بالامثلثی میل می کند لذا برای k به اندازه کافی بزرگ اعضای قطری مقادیر ویژه ماتریس می باشند.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
۳-۴- کاربرد های تجزیه مقادیر منفرد
روش تجزیه مقادیر منفرد (SVD) ابزار مهمی در پردازش سیگنال و تحلیل داده های آماری می باشد و مدتهاست در پردازش سیگنال به عنوان شناساگر الگویی قوی و مطمئن مورد توجه قرار گرفته است. اما اولین و مهمترین کاربرد آن که ارتباط چندانی به استخراج ویژگی ندارد، حل دستگاه معادلات خطی همگن[۱۰۹] است. این کاربرد به حل مسایل حداقل مربعات خطی[۱۱۰] منجر خواهد شد[۱۷]. کمینه کردن مجموع حداقل مربعات[۱۱۱] و یافتن مرتبه[۱۱۲]، فضای تهی[۱۱۳] و دامنه[۱۱۴] ماتریس ها از دیگر کاربردهای SVD در جبر خطی می باشد.
تخمین[۱۱۵] (تقریب) ماتریس با بهره گرفتن از تجزیه مقادیر منفرد به نحوی که بتوان با بهره گرفتن از آن، ماتریس را دوباره از روی مقادیر منفرد آن ساخت کاربری متفاوتی را پیش روی ما می نهد تا در استخراج ویژگی از SVD کمک بگیریم. این کاربرد تحت عنوان Eckart–Young theorem در سال ۱۹۳۶ بیان شد و تا کنون به صورت فراگیر از آن استفاده می شود. بیان مختصری از اثبات این قضیه را در ذیل می آوریم:
تقریبی از ماتریس M که با نشان داده می شود با هدف کمینه کردن نرم فروبنیوس اختلاف ماتریس M , صورت می پذیرد با این قید که باشد. فرضیات زیر را خواهیم داشت:
(۳-۷۹)
که در اینجا همان است اما با تعداد r از بزرگترین مقادیر ویژه. (بقیه مقادیر ویژه با صفر جایگزین خواهند شد). قضیه بیان می دارد که کمینه کردن اختلاف مقادیر ویژه ها معادل با کمینه کردن اختلاف ماتریس هاست.
(۳-۸۰)
ماتریس که از این طریق بدست می آید با نام S شناخته می شود. ماتریس S ماتریسی قطری[۱۱۶] است.