به عبارت دیگر، اگر تابع تولید Y=f(x₁,x₂,x₃) که در آن Y خروجی و x₁,x₂,x₃ ورودی های تابع است مفروض باشد، آنگاه بازده به مقیاس به طور جبری از طریق بررسی رابطه زیر مشخص می شود:

hY=f(kx₁,kx₂,kx₃)

h میزان افزایش نسبی خروجی ناشی از افزایش k برابری عوامل تولید است.

اگرh=k باشد، تابع تولید بازده ثابت نسبت به مقیاس را نشان می‌دهد.

اگرh>k باشد، تابع تولید بازده صعودی نسبت به مقیاس را نشان می‌دهد.

اگرh<k باشد، تابع تولید بازده نزولی نسبت به مقیاس را نشان می‌دهد. (مهرگان،۱۳۸۷)

۲-۶-۳ ورودی محور^[۴۰] و خروجی محور^[۴۱]

مدل های تحلیل پوششی داده ها را می توان به دو گروه عمده ورودی محور و خروجی محور تقسیم کرد. این تقسیم بندی مدل ها، از این جهت صورت گرفته که کارایی را می توان از این دو منظر مورد محاسبه قرار داد.

ورودی محور پاسخگوی این سئوال است که در محاسبه کارایی، به چه نسبتی می توان مقادیر ورودی را کاهش داد به طوری که مقادیر خروجی تغییر نکند؟ خروجی محور نیز پاسخگوی این سئوال است که در محاسبه کارایی، به چه نسبتی می توان مقادیر خروجی را افزایش داد به طوری که مقادیر ورودی تغییرنکند؟

تفاوت ورودی محور و خروجی محور را می توان با یک مثال شامل مسئله ای با یک ورودی و یک خروجی به شرح شکل ۲-۴ نشان داد.

شکل ۲-۴ الف بازده به مقیاس متغیر، ب بازده به مقیاس ثابت

قسمت الف شکل فوق، وضعیت بازده نزولی نسبت به مقیاس را نشان می‌دهد. در این شکل مقدار کارایی فنی واحد ناکارای متناظر با نقطه P ‌بر اساس آنچه فارل گفته، با فرض ورودی محور برابر با و با فرض خروجی محور برابر با است. اما آگر مشابه قسمت ب همان شکل، فرض بازده ثابت نسبت به مقیاس حاکم باشد در آنصورت این دو نسبت با هم برابر خواهد بود. موضوع نابرابری کارایی فنی، برای یک واحد ناکارا در دو دیدگاه ورودی محور و خروجی محور، در جایی که فرض بازده افزایشی نسبت به مقیاس هم حاکم باشد، صادق است.

۲-۶-۴ شعاعی و غیر شعاعی

مدل­های شعاعی^[۴۲]، مدل­هایی هستند که با ثابت نگه داشتن ورودی، سعی در افزایش خروجی به منظور افزایش کارایی دارند یا خروجی را ثابت نگه می­دارند و ورودی را کاهش می­ دهند. اما در مدل­های غیر شعاعی^[۴۳]، همزمان به افزایش خروجی و کاهش ورودی توجه می­ شود (Chuen,2010). مدل­های CCR و BCC که در ادامه تشریح می‌شوند، هر دو مدل­های شعاعی هستند.

هر کدام از انواع مدل­های شعاعی و غیرشعاعی کاربردهای خاصی دارند. اما برخی کاربردها هم یافت می­ شود که باید در بعضی از ورودی­ ها و خروجی­ها از مدل شعاعی استفاده کنند و در برخی دیگر از مدل غیرشعاعی.

۲-۷ مدل های پایه در تحلیل پوششی داده ها

همان‌ طور که پیش تر آمد، تحلیل پوششی داده ها، واحد های تحت بررسی را به دو گروه “واحد های کارا” و “غیر کارا” تقسیم می‌کند. واحدهای غیر کارا با کسب امتیاز کارایی قابل رتبه بندی هستند اما واحد هایی که امتیاز کارایی آن ها برابر یک می‌باشد با بهره گرفتن از مدل های کلاسیک تحلیل پوششی داد ها قابل رتبه بندی نیستند (مهرگان،۱۳۸۷). در این بخش برخی از مدل های پایه که بارویکرد های مختلف ارائه شده به طور مختصر مطرح می شود لیکن با توجه به هدف این رساله، برای شناخت بیشتر آن ها و آشنایی با مدل هایی که در رتبه بندی واحد های کارا مورد استفاده قرار می‌گیرد، به منابع مذکور ارجاع داده می شود. لازم به توضیح است که به جهت رعایت هماهنگی بین مدل های مختلف، محقق برخی از نماد ها را به سلیقه خود نسبت به منابع مذکور تغییر داده است.

۲-۷-۱ مدل نسبت CCR ورودی محور

چارنز، کوپر و رودز در سال ۱۹۷۸ روش تعیین کارایی واحدی که یک ورودی را به یک خروجی تبدیل می‌کند به روشی برای تعیین کارایی واحد هایی با چندین ورودی و چندین خروجی^[۴۴] بدون نیاز به تعیین وزن های از پیش معین، تعمیم دادند(Banker,1984) . بر اساس این روش، مدل CCR به عنوان یک مدل پایه، در تحلیل پوششی داده ها مطرح شد. در این مدل، برای سنجش کارایی یک واحد تصمیم گیری با چند ورودی – چند خروجی، به مجموع موزون ورودی­ ها و مجموع موزون خروجی­ها توجه شده است. اما با توجه به مشکلاتی که در خصوص تعیین وزن گفته شد در مدل مذکور، همان‌ طور که اشاره شد، مقادیر از پیش تعیین شده ای برای وزن وجود ندارد و در واقع کاری که مدل انجام می­دهد تعیین وزن ( ارزش ) برای ورودی ها و خروجی ها است به نحوی که حداکثر کارایی ممکن برای واحد تحت بررسی به دست آید؛ و با وزن به دست آمده کارایی هیچ واحدی از مقداری مشخص مثلاً یک، بیشتر نشود. به بیان دیگر، وزن­ تخصیص داده شده برای ورودی­ ها و خروجی­ها، از یک واحد تا واحد دیگر متفاوت است و به عنوان متغیر تصمیم مدل، برای هر واحد به طور جداگانه و با توجه به میزان ورودی­ ها و خروجی­های آن تعیین می­ شود. واحدهایی که حداکثر کارایی را داشته باشند، اصطلاحاً مرز کارا را تشکیل می­ دهند.

مدل ابتدایی CCRکه به آن فرم نسبت گفته می شود به صورت زیر است (Charnes,Cooper,Rhodes,1978):

Max Z₀ =

Subject to:

≤ ۱ j=1,2,…,n , u_r,v_i≥۰

مدل۱- مدل نسبت CCR ورودی محور

به طوری که :

Z₀ واحد تحت بررسی

میزان ورودی iام برای واحد jام ( m,…۱,۲,=i )

میزان خروجی rام برای واحد jام ( r=1,2,…,s )

وزن داده شده به خروجی rام ( قیمت خروجی rام )

وزن داده شده به ورودی iام ( هزینه ورودی iام )

۲-۷-۲ مدل اولیه^[۴۵] ( مضربی ) CCR ورودی محور

مدل فوق یک مدل کسری است اما در عمل شکل مضربی آن که خطی است مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرم مضربی CCR به دنبال حداکثر نمودن مجموع موزون خروجی‌ها ی واحد تحت بررسی است وقتی که مجموع موزون ورودی­ ها ثابت و برابر با مقداری مانند یک باشد. این فرم به صورت زیر نوشته می شود:

Max Z₀ =

Subject to:

–

U_r , v_i ≥ ۰ j=1,2,…,n

مدل ۲- مدل مضربی CCR ورودی محور

محدودیت آخر هم بیان می­ کند که کارایی واحد مورد نظر (و همچنین سایر واحدها) نباید از مقدار یک یا صددرصد بیشتر شود. ‌بنابرین‏ محدودیت آخر به ازای تمام واحدهای مورد بررسی نوشته می­ شود. وزنی که از حل این مدل برنامه ریزی خطی به دست می ­آید (U_r , v_i ) مقدار کارایی واحد تحت بررسی را مشخص می‌کند. برای ارزیابی کارایی هر واحد تصمیم گیری باید مدل­های مشابه نوشته و حل ­شود.

در مدل مضربی فوق، متغیرهای تصمیم مسئله غیر منفی هستند؛ ‌به این معنی که اگر وزن یک ورودی یا خروجی در هرکدام از واحد های تصمیم گیری صفر شود، آن ورودی یا خروجی در تعیین کارایی بی اثر خواهد بود. برای پرهیز از حذف این اثر، باید مقدار متغیر های تصمیم مدل، از یک مقدار بسیار کوچک مثل ϵ بزرگتر در نظر گرفته شود. براین اساس مدل مضربی CCR ورودی محور به صورت زیر اصلاح شد (Banker,Charnes,cooper,1984):

Max Z₀ =

Subject to:

–

U_r , v_i ≥ ϵ j=1,2,…,n

ϵ مقدار کوچک بزرگتر از صفر است.