4)  .
اثبات: [16] قضيه 7-2-1.
تابع  كه در قضيه فوق تعريف شده را تصوير متعامد  بر روي  گوييم.
تعريف 1-1-2: اگر  يك عملگر خطي كراندر روي  باشد به طوري كه  آن‌گاه گوييم  يك تصوير است هرگاه  .
گزاره 1-1-3: اگر  يك عملگر خطي كراندار روي  باشد به طوري كه  آن‌گاه جملات زير هم ارز هستند:
1)  تصوير است.
2) E يك تصوير متعامد از  به روي  است.
3)  .
4)  خود الحاق است.
5)  نرمال است.
6)  .
اثبات: [16] گزارة 3-3-2.
تعریف 1-1-4: نگاشت خطی و مثبت بین دو فضای هیلبرت و را یک طولپای جزیی گوییم هر گاه روی طولپا و در بقیه نقاط صفر باشد. در واقع:
گزاره 1-1-5: عملگرV را كه روي فضاي هيلبرت H عمل مي‌كند طولپاي جزئي گوييم اگر و فقط اگر يك تصوير باشد. در اين حالت E تصوير ابتداييVوتصوير انتهايیV است و يك طولپاي جزئي با تصوير ابتدايیF و تصوير انتهايی E است.
اثبات: [9]، گزاره 1-1-6.
تعريف 1-1-6: اگر (Mزير فضاي بستهH است) گوييم M يك زيرفضاي پايا براي  است اگر برای هر  . به عبارت ديگر اگر.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

تعريف 1-1-7: گوييم M يك زير فضاي تحويل‌پذير براي T است هرگاه M و تحت T پايا باشند يعني
يادآوري مي‌كنيم كه اگر آن‌گاه . اگر آن‌گاه مي‌توان T را به عنوان يك ماتريس  كه درايه‌هايش عملگر هستند به صورت زير بازنويسي كرد.
به طوری که :
قضيه 1-1-8: اگر يك تصوير متعامد به روي M باشد آن‌گاه (1) تا (4) هم‌ارز هستند.
(1) M زيرفضاي تحويل پذير T است.
(2) .
(3) در نمايش
(4) M براي و پاياست.
اثبات: [16] گزاره 7-3-2.
تعريف 1-1-9: خانواده F از عملگرهاي كراندار روي فضاي هيلبرت H، به طور تحويل ناپذير توپولوژيك عمل مي‌كند هرگاه و تنها زير فضاهاي بسته ی پايا تحت F باشند.
تعريف 1-1-10: فرض كنيم يك نمايش از  جبر A باشد. گوييم يك نمايش تحويل‌ناپذير است اگر و H تنها زیر فضاهای بسته از H باشند كه تحت هر عملگر از پايا هستند.
١-٢: جبر  :
جبر روي ، فضاي برداري همراه با يك ضرب است به طوري كه A با اين ضرب يك حلقه است و اگر آن‌گاه .
حال اگر  يك نرم روي جبر A باشد آن‌گاه را يك جبر نرم دار گوييم.
تعريف 1-2-1: جبر باناخ A، جبر A روي همراه با يك نرم  است كه نسبت به آن A فضاي باناخ است و براي هر ، .
اگر  عنصر هماني A باشد آن‌گاه فرض مي‌كنيم  . عنصر هماني را با 1 نشان مي‌دهيم. در صورتي كه A يكدار نباشد با تعريف يك ساختار جبر باناخ مناسب روي جمع مستقيم و نشاندن A در ، يك ريختي طولپا بين A و جبر باناخ يكدار با عنصر هماني  برقرار مي‌شود. تحت اين يكساني A ايده‌آل است و با اين‌كار تعريف معكوس و طيف براي عناصر جبرهاي باناخ غيريكدار ممكن خواهد شد. اگر A يك جبر نرم‌دار با عنصر يكه 1 باشد  و  ، گوييم A يك جبر نرم‌دار يكاني است.
تعريف 1-2-2 : نگاشت:* را كه هر عنصر از جبر باناخ مختلط A را به عنصر از مي‌برد، یک اینولوشن گوییم هر گاه :
1) .
2) .
3) .
به طوری که ، مزدوج در هستند. جفت را *-جبر می نامیم.
تعریف 1-2-3: اگر زیر مجموعه ای از باشد و و اگر ، گوییم یک مجموعه ی خود الحاق است.
تعریف 1-2-4: یک زیر جبر خود الحاق از را یک *_زیر جبر از گوییم.
تعريف 1-2-5: یکجبر ، يك جبر باناخ مختلط با اینولوشن * است كه علاوه بر شرايط (1) تا (3) در تعريف قبل، داراي شرط اضافي زير نيز باشد:
(4) .
شرط (4) نشان می دهد که اینولوشن * در -جبر ، نرم را حفظ می کند بنا بر این پیوسته است چون :
و با قرار دادن به جای نتیجه می شود که :
تعريف 1-2-6: اگر يك جبر باشد آن‌گاه جبر همه ماتريس‌هاي  با درايه‌هاي در را مشخص مي‌كند. اگر يك *_جبر باشد (يعني يك جبر با * است كه براي هر)، با تعريف نيز *- جبر است.
طبق تعريف بالا به راحتي قابل ديدن است كه اگر يك *- همومورفيسم بين *-جبرهاي  و  باشد.آن‌گاه طبق تعریف * روی ، تقویت یعنی :